什么是二项分布？
什么是概率分布？
在统计学中，概率分布是用来描述随机变量可能取值的概率的函数。在一个随机试验中，所有可能的结果构成了样本空间。每一个结果叫做一个样本点。概率分布告诉我们每一个样本点的概率。
二项分布的定义
二项分布是描述在进行$n$次独立的伯努利试验（即同一试验重复多次，每次试验结果只有两种可能，并且两种可能发生的概率不变），其中每次试验的成功概率为$p$的情况下，$k$次成功的概率分布。
二项分布的公式
设$n$次独立的伯努利试验中，每次试验的成功概率为$p$，$k$次成功，则二项分布的概率质量函数为：
$$P(X=k)=\\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\qquad 0\\leq k\\leq n$$
二项分布的例子
一个硬币正面向上的概率为$p$，反面向上的概率为$1-p$。如果在进行10次投掷试验后，我们想知道在这10次中正面朝上的次数，我们可以用二项分布来描述这个问题。我们可以得到每个可能结果的概率，比如5次正面朝上的概率是：
$$P(X=5)=\\binom{10}{5}p^5(1-p)^5$$
二项分布的性质
1. 期望值：$E(X)=np$
2. 方差：$Var(X)=np(1-p)$
二项分布是一种重要的离散概率分布，广泛应用于统计学、金融学、生物学等领域中。它不仅有着严格的数学推导，而且具有很强的实用价值。
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