2022西安交大线性代数答案（2022西安交大线性代数试题解析）

2022西安交大线性代数试题解析

线性代数是数学中的一门重要学科，是研究线性方程组、向量空间、线性变换和行列式等数学对象及其本质的学科。本次考试是2022年西安交大线性代数期末考试，以下是本次试题的详解。

第一部分是选择题，共有20道题。这一部分主要测试学生对定义、定理的理解、和题型的运用。其中一道题目如下：

1. 下列向量组是线性无关的是（）

A.（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0）

B.（1，2，3），（0，1，1），（0，0，1）

C.（1，0），（1，1），（0，1）

D.（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，1）

答案为B，其中向量组（1，2，3），（0，1，1），（0，0，1）可以通过增广矩阵进行行变换消元得到一个单位矩阵，因此是线性无关的。而其他向量组都存在线性相关的情况。

第二部分是填空题，共有10道题。这一部分主要考察学生对定理和算法的掌握，需要学生熟练掌握矩阵运算法则以及相关的定理和推论。其中一道题目如下：

1. 设A是2阶矩阵，且A^2=3A，则A^3=（）。

答案为9A，因为根据已知条件可得 A^2-3A=0，进一步推导可得 A(A-3I)=0，因此A的特征值为0和3。根据矩阵的迹和特征值的关系可得 tr(A)=0+3=3，因此矩阵A与其相似的上三角矩阵为如下形式：

[3 k]

[0 n]

由于矩阵A为2阶矩阵，因此k+n=tr(A)=3，且k×n=det(A)=0。因此k=0，n=3或k=3，n=0，而根据两者的推导，只有k=0，n=3的情况满足题目条件，因此A的上三角矩阵为：

[3 0]

[0 0]

进一步计算可得A^3=9A。

第三部分是计算题，共有5道题。这一部分主要考察学生对定理和算法的掌握，并需要运用矩阵运算法则和定理以及相关的推导、证明技巧解决问题。其中一道题目如下：

1. 设线性空间V上有两个线性变换A和B，且A和B对应的矩阵分别为：

[2 3]

[1 -1]

和

[3 -1]

[2 0]

试求AB的矩阵，并判断AB是否为正交变换。

答案为：

[12 2]

[1 -1]

AB不是正交变换，因为其矩阵不是正交矩阵。

本次试题考察了学生对线性代数的理解和掌握情况，内容比较繁杂，需要学生提前做好准备并系统地复习相关的知识和技能，以便在考试中取得更好的成绩。